編者按：

　　文化是中國白酒所具備的重要屬性之一，其中更蘊含了豐富的哲學思想，這使得中國白酒除了在物質層面帶給飲用者以愉悅之外，更讓飲用者在精神層面獲得升華。

　　“大中有小，小中有大；新中有舊，舊中有新；死中有生，生中有死；寬中有窄，窄中有寬。”四川省委省政府決策咨詢委員會副主任、成都市社科聯主席、四川省酒類流通協會名譽會長、振興川酒首席經濟學家、發展戰略顧問李后強在《寬窄論——人生啟迪與智慧》中的不少觀點對白酒行業有很強的借鑒意義。

　　《長江酒道》獲得李后強會長授權后將分期刊發其中的精彩論述。

　　導語：寬窄蘊含深刻的哲理，特別是包含著豐富的美學、數學、心理學和物理學等知識。本期著重從幾何學概念，分析寬窄論在不同幾何學中的展現。

　　從歐式幾何到黎曼幾何

　　我們知道，寬窄是尺寸也是數值，是感覺也是智慧，是比較也是視角。著名詩人蘇東坡說過，“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。

　　歐幾里得幾何簡稱“歐氏幾何”，是幾何學的一門分科。數學上，歐幾里得幾何是直線、平面和三維空間中常見的幾何，基于點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

　　公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理(公設)，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。

　　按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。流形是局部具有歐幾里得空間性質的空間，流形在數學中用于描述幾何形體，物理上，經典力學的相對空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。

　　非歐幾里得幾何是一門大的數學分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義的非歐幾何是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學；狹義的非歐幾何僅是指羅氏幾何；至于通常意義的非歐幾何，就是指橢圓幾何學。

　　歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，頭四條公設分別為：

　　1. 過兩點能做且只能作一直線。 

　　2. 線段（有限直線）可以無限地延長。

　　3. 以任一點為圓心，任意長為半徑，可作一圓。

　　4. 任何直角都相等。

　　第五條公設說：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小于兩直角，則這兩直線經無限延長后在這一側相交。長期以來，數學家們懷疑第五公設到底能不能證明？到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,其實就是數學中的反證法。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：

　　第一，第五公設不能被證明。

　　第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。

　　這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。

　　從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。羅巴切夫斯基幾何的公理系統和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內，從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。

　　1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

　　直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。

　　黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

　　黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。

　　黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

　　近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。

　　此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數論等方面。

　　寬窄的幾何學

　　從普通常識和直觀上講，寬窄是一個幾何學概念。但是，在不同幾何學中，寬窄不同。

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼（球面）幾何是三種各有區別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系。每個體系內的各條公理之間沒有矛盾。因此這三種幾何都是正確的。

　　宏觀低速的牛頓物理學中，也就是在我們的日常生活中，我們所處的空間可以近似看成歐式空間；在涉及到廣義相對論效應時，時空要用黎曼幾何刻畫。黎曼流形上的幾何學。

　　黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發展了空間的概念，提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量。黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。黎曼幾何與偏微分方程、多復變函數論、代數拓撲學等學科互相滲透，相互影響，在現代數學和理論物理學中有重大作用。

　　研究黎曼幾何要知道這些概念：

　　1. 度量張量。

　　2. 黎曼流形。

　　3. 列維-奇維塔聯絡。

　　4. 曲率。

　　5. 曲率張量。

　　6. 李群。

　　E. 嘉當在20世紀20年代開創并發展了外微分形式與活動標架法，建立了李群與黎曼幾何之間的聯系，從而為黎曼幾何的發展奠定重要基礎，并開辟了廣闊的園地，影響極其深遠。并由此發展了線性聯絡及纖維叢的研究。

　　1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。使黎曼幾何（嚴格地說洛倫茲幾何）及其運算方法（里奇算法）成為廣義相對論研究的有效數學工具。而相對論近年的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。例如矢量叢和聯絡論構成規范場（楊-米爾斯場）的數學基礎。

　　數學上的黎曼幾何可以看作是歐式幾何的推廣。歐式幾何中的度量是零曲率的，而黎曼幾何研究更一般的度量，在不同的度量下，空間的曲率是不同的。

　　物理學中，牛頓力學粗略地說是建立在歐式空間上的。而廣義相對論里的時空是一個黎曼流形。物理時所說的“歐式幾何”有時候是指“牛頓時空觀”。微分幾何中，黎曼幾何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積，把每個微小部分加起來而得出整體的數量。